KOMPUTER NUMERIK : GALAT ATAU ERROR [003-001]
Hay guys, ketemu lagi di blog
Kumpulan Komputasi Algoritma. Sudah sekian lama saya tidak ngeblog. Ya harus
cari materi dulu dong hehe... Sebelumnya udah bahas tentang dunia Citra,
Sinyal, dan Grafik. Sekarang aku akan membahas tentang Komputer Numerik atau
biasanya Metode Numerik. Sebenarnya pernyataan kedua tu sama saja. Hanya
bedanya kalau Metode Numerik itu nanti ada rumus – rumusnya sedangkan Komputer
Numerik itu rumus tersebut diterapkan ke dalam komputer.
Komputer Numerik ? Keliatannya
kalian cukup asing mendengar nama ini. Okay, jika kalian merasa puyeng aku akan jelaskan. Komputer
Numerik itu dibisa dikatakan sebagai penentuan error suatu perhitungan untuk
mencapai nilai akurasi. Error disini adalah nilai yang menyebabkan nilai
tersebut tidak tepat. Komputer Numerik bertujuan untuk menentukan suatu akurasi
dari hasil perhitungan atau percobaan. Contoh yang sederhana adalah kalian yang
jurusan Fisika, Kimia, Teknik buat laporan untuk menganalisis dan menghitung
data dari hasil percobaan dengan teknik aproksima kesalahan. Contoh tersebut
sudah masuk ke dalam Komputer Numerik.
Jadi bisa dikatakan bahwa suatu perolehan data yang didapat pasti ada error-nya.
Sedikit mustahil jika data yang diperoleh akurasinya tepat.
Komputer Numerik ini banyak
sekali diimplementasikan dalam kehidupan termasuk dunia kedokteran, teknik,
ekonomi, dan sains. Contoh yang sangat sederhana adalah misalkan jika ingin
menjumlahkan dari 10/3 + 9/7. Anggap saja hasilnya banyak diperoleh seperti :
( pembulatan 2 desimal ) 10/3 + 9/7 = 0,33 + 1,29 = 1,62
( pembulatan 5 desimal ) 10/3 + 9/7 = 0,33333 + 1,28571 = 1,61904
( pembulatan 7 desimal ) 10/3 + 9/7 = 0,3333333 + 1,2857143
= 1,6190476
Hasil tersebut dapat dilihat bahwa setiap pembulatan desimal
menghasilkan nilai yang berbeda. Tentunya akan menjadi pengaruh dalam
perhitungan dalam komputer ( anda bisa liat pada simulasi gerak peluru bagian
Fisika Komputasi [002-001] ). Anggap saja nilai a = 1,62 dan b = 1,61904,
nah nilai error itu dapat dibuat formula seperti ini :
Dengan nilai a
sebagai nilai asli, maka nilai error-nya diperoleh x = 1,62 – 1,61904 = 0,00096. Nah, nilai tersebut merupakan galat atau error.
(Suarga,
___) Komputer numerik dapat dikatakan sebagaikomputasi yang mengikuti suatu
algoritma pendekatan (aproksimasi)
untuk menyelesaikan suatu persoalan, yang dengan demikian besar kemungkinan di
situ terkandung “kesalahan”. Beberapa sumber kesalahan pada komputasi numerik
yaitu :
1.
Round off
errors
Kesalahan yang timbul karena adanya teknik pembulatan. Ilustrasinya pada
contoh sebelumnya.
2.
Truncation
errors
Kesalahan ini terjadi karena adanya pemotongan suku pada suatu deret
aproksimasi. Misalkan perhitungan nilai cos
dengan teknik Taylor dan teknik differensial.
3.
Range
errors
Kesalahan
yang terjadi akibat nilai hasil komputasi melampaui batas angka yang
diperbolehkan dalam komputer. Misalkan dalam penggunaan variabel integer pada proses perhitungan energi
benda hitam yang menghasilkan nilai yang tidak tepat bahkan tidak terdefinisi.
Agar
kalian paham, ini aku kasih penjelasan mengenai ketiga sumber kesalahan dalam
komputasi numerik.
A.
Round off errors
Kesalahan jenis ini terjadi akibat proses pembulatan dalam perhitungan.
Secara umum, proses pembulatan ada 2 aturan yaitu :
-
Jika digit yang dibulatkan kurang dari 5, maka
tidak terjadi pembulatan.
-
Sebaliknya, jika lebih dari 5, maka terjadi
pembulatan yaitu dengan menambah satu.
Contoh sederhananya adalah sebagai berikut :
Pada perhitungan nilai x = 6/7, maka nilai x = 0,857142857143. Maka, jika
terjadi pembulatan akan diperoleh nilai sebagai berikut :
è
x = 0,86 ( mendekati nilai 2 desimal ).
è
x = 0,8571 ( mendekati nilai 4 desimal ).
è
x = 0,857143 ( mendekati nilai 6 desimal ).
è
x = 0,85714286 ( mendekati nilai 8 desimal ).
Dalam proses pembuatan, kesalahan yang timbul akibat pembulatan pada
digit ke-n di belakang koma selalu
bernilai :
Dengan begitu, maka :
è
Untuk x = 0,86 (n = 2), maka Error = |
0,857142857143 – 0,86 | = 0,00285714286
Dengan begitu terbukti bahwa Error ≤ 10-4/2 <-> 0,00285714286 ≤ 0,005.
è
Untuk x = 0,8571 (n = 4), maka Error = |
0,857142857143 – 0,8571 | = 0,000042857143
Dengan begitu terbukti bahwa Error ≤ 10-4/2 <-> Error ≤ 0,00005.
è
Dan seterusnya. ( Anda bisa membuktikan untuk x
= 0,857143 dan x = 0,85714286. )
Kesalahan ini biasanya digunakan pada perhitungan data dari hasil
percobaan praktikum seperti perhitungan nilai gravitasi dengan teknik
perhitungan bandul, menentukan nilai tegangan permukaan, dan lain – lain.
Masing – masing percobaan biasanya mengulang sebanyak 5 – 10 kali dengan tujuan
untuk mengetahui kesalahan mutlak dan mengetahui apakah data yang diperoleh
dari hasil praktikum itu tepat, teliti, masih ada kesalahan, atau bahkan
error-nya sangat jauh dari perhitungan berdasarkan formula. Teknik ini adalah
aprosikmasi kesalahan ( dibahas di bagian blog Aprosikmasi Kesalahan ).
Disinilah kegunaan untuk menentukan error suatu perhitungan dengan teknik ini.
B.
Truncation errors
Kesalahan pemotongan biasanya terjadi karena pembuangan suku yang
berderajat tinggi. Sebagai contoh untuk menghitung nilai cosinus dapat
menggunakan deret Taylor yang dirumuskan di bawah ini :
Karena batas akhirnya tak hingga, maka dilakukan pemotongan suku agar
perhitungannya lebih sederhana. Misalkan menentukan nilai sin(20) = 0.9129452507276277.
Dengan deret Taylor ( hampir sama dengan konsep perhitungan nilai cos ) sampain = 100 akan diperoleh :
Dengan begitu nilai errornya adalah
Maka, dalam hal ini juga berpengaruh dalam proses perhitungan nilai
numerik. Kesalahan ini berkaitan dengan kesalahan Range Errors karena kesalahan Range
Errors ini berkaitan dengan batasan nilai representasi angka. Dalam dunia
komputasi, penggunaan variabel berpengaruh pada hasil komputasi. Anggap saja
untuk menghitung nilai yang mencapai > 109 harus menggunakan
Float atau Double. Jika nilai tersebut menggunakan Integer, maka hasilnya akan
acak atau bahkan memberi hasil NaN
alias tak definisi. Maka, dalam komputasi, anggap saja ∞ ditentukan sendiri
misalkan mencapai N = 1000000.
C.
Range errors
Untuk kesalahan ini berkaitan dengan batas dalam jangkauan representasi
angka. Ini bisa dikatakan bahwa jika hasil perhitungan melebihi jangkauan, maka
komputer akan menampilkan hasil yang tidak beraturan ( anggap saja hasil yang
diperoleh diatur lagi oleh OS yang kita pakai ). Berikut ini saya kasih 2
contoh kasus untuk jenis kesalahan ini :
-
Menghitung jari – jari atom Bohr.
Untuk menghitung jari – jari atom Bohr dapat dirumuskan seperti ini :
Dengan :
Seandainya jika rumus itu dibuat dalam bentuk program, maka variabel r
harus menggunakan tipe Double. Jika
ingin bukti, berikut aku kasih bentuk program menghitung jari – jari atom Bohr
dengan tipe variabel yang berbeda.
a.
Menggunakan INTEGER.
b.
Menggunakan FLOAT.
c.
Menggunakan DOUBLE.
Dari hasil di atas dapat diketahui bahwa penggunakan INTEGER dan FLOAT
tidak bisa menampilkan hasil perhitungan yang tepat. Tetapi, penggunaan DOUBLE
akan memberi hasil yang tepat sesuai perhitungan dari rumus tersebut. Hal ini terjadi
karena jenis tipe data INTEGER memiliki jangkauan ... dan FLOAT punya jangkauan
... , Karena melebihi jangkauan, maka menampilkan hasil yang tidak sesuai
-
Menghitung nilai sinus dengan teknik Taylor.
Bentuk rumus-nya sudah ditulis sebelumnya. Disini akan diberi 2 teknik perhitungan dalam penggunaan deret Taylor.
a.
Teknik Penggunaan Fungsi Math.
Bentuk program dapat dibuat seperti di bawah ini :
for (double n =
0; n <= N; n++)
B += (Math.pow(-1, n))*(Math.pow(x,
2*n+1))/(factorial(2*n+1));
Hasil output :
( Dengan N = 100 )
A : -0.9881209821429402
Time : 7.33534E-4 detik
( Dengan N = 500 )
A : NaN
Time : 0.002157699 detik
( Dengan N = 1000 )
A : NaN
Time : 0.005704589 detik
( Dengan N = 5000 )
A : NaN
Time : 0.108811078 detik
( Dengan N = 10000 )
A : NaN
Time : 0.418405214 detik
( Dengan N = 50000 )
A : NaN
Time : 24.734975616 detik
b.
Teknik Pengurangan Operasi.
for (double n =
N; n >= 0; n--) {
A += (1/factorial(2*n+1));
if (n == 0)
A *= x;
else
A *= -(x*x);
}
Hasil Output :
( Dengan N = 100 )
A : -0.9879136391243737
Time : 0.001511368 detik
( Dengan N = 500 )
A : -0.9879136391243737
Time : 0.005108622 detik
( Dengan N = 1000 )
A : -0.9879136391243737
Time : 0.008196645 detik
( Dengan N = 5000 )
A : -0.9879136391243737
Time : 0.106724261 detik
( Dengan N = 10000 )
A : -0.9879136391243737
Time : 0.415457556 detik
( Dengan N = 50000 )
A : -0.9879136391243737
Time : 9.187904015 detik
Dari hasil di atas ternyata
membawa hasil yang berbeda dari kedua teknik di atas. Hal ini dapat dilihat
bahwa pada saat nilai N = 500, pada model program (a) menampilkan nilai NaN alias tak definisi. Tetapi, untuk model program (b) akan muncul nilainya.
Hal ini terjadi karena proses perhitungan pada model program (a) kemungkinan
ada nilai yang infinity sehingga
hasil akhirnya adalah NaN pada saat
perhitungan nilai dengan Math.pow dan
method factorial. Untuk model program
(b) karena menggunakan teknik pengurangan operasi, maka hasil outputnya bisa
tampilkan bahkan pada saat N = 50000. Jika dilihat, model program (a) sangat tidak efisien daripada model
program (b) karena pada model (a) operasinya sangat banyak dan membutuhkan
waktu yang banyak untuk masuk method Math
dan factorial.
Kita bisa lihat bahwa dalam
pemrograman, perhitungan data yang nilai sangat besar seperti besar pertumbuhan
ekonomi di Indonesia ini, besar energi radiasi matahari atau nilai yang sangat
kecil seperti jari – jari atom, besar muatan listrik pada elektron, dan lain –
lain sangat berpengaruh dalam program komputer. Tentunya, tipe data yang
digunakan harus tepat. Misalkan jika perhitungan data aritmatika biasa seperti
deret aritmatika cukup pakai INTEGER, menghitung nilai rata – rata mahasiswa
menggunakan FLOAT karena bisa menghasilkan nilai desimal. Oleh karena itu,
perlu diperhatikan tipe data-nya beserta bentuk formula yang dibuat seperti
menghitung nilai cosinus dengan
teknik pengurangan operasi.
Bagaimana
pun juga, metode numerik ini sangat berguna untuk penerapan dalam kehidupan
sehari – hari terutama dalam dunia teknik dan sains. Contoh yang sangat
sederhana adalah ketika ingin memotong kayu dengan panjang 10 cm, saat mengukur
ukuran harus diberi error sekitar 0,1 cm. Hal ini bertujuan agar saat memotong
kayu akan menghasilkan ukuran pas 10 cm dan 0,1 cm ini akan hilang akibat
gesekan / panas yang menyebabkan menjadi aus. Jadi, bisa dikatakan bahwa
numerik ini berpengaruh dalam berbagai macam faktor. Misalkan pembangunan
gedung tinggi harus memperhatikan pondasi-nya dan tingkat keretakan bahan yang
dipakai ( lebih ke arah elastisitas bahan bangunan ).
Okay
sekian dulu ya blog aku di sini. Untuk metode ini masih sangat banyak. Ya saya
usahakan saya posting materi selanjutnya. Udah ya sekian dulu aja. Jangan bosan
dengan blog aku siap tau bisa berguna buat kalian wkwk... Okay udah dulu ya.
Jangan lupa like blog ku ya. Mantapp (y).
Referensi :
https://www.academia.edu/11633559/METODE_NUMERIK
https://materi78.files.wordpress.com/2013/06/atom_fis4.pdf
